考研数学一 · 全知识点精讲

关键性质速记

$$f(-x)\text{ 与 }f(x)\text{ 的关系}\Rightarrow \text{奇偶性};\quad f(x+T)=f(x)\Rightarrow \text{周期}$$

• 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇；奇+奇=奇，偶+偶=偶。
• $e^x$、$\ln x$、$\arcsin x$、$\arctan x$、$\sin x$、$\tan x$、$x^{2n+1}$ 为奇函数；$x^{2n}$、$\cos x$、$|x|$ 为偶函数。

关键公式

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\ (a>0);\quad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1;\quad \lim_{n\to\infty}q^n=\begin{cases}0,&|q|<1\\\infty,&|q|>1\end{cases}$$

运算法则（极限四则运算）

$$\lim(f\pm g)=\lim f\pm \lim g,\quad \lim(fg)=\lim f\lim g,\quad \lim\frac{f}{g}=\frac{\lim f}{\lim g}\ (\lim g\ne 0)$$

前提：$\lim f$、$\lim g$ 均存在（除法还需分母极限非零）。

两个重要极限

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to\infty}\Big(1+\frac{1}{x}\Big)^{x}=e$$

常用等价无穷小（$x\to0$）

洛必达法则（$0/0$ 或 $\infty/\infty$）

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad(\text{若 }g'(x)\ne0\text{ 且后极限存在或为 }\infty)$$

泰勒展开（求极限最通用）

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots,\quad \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots,\quad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$

连续函数运算

连续函数的和、差、积、商（分母非零）、复合、反函数均连续；初等函数在其定义区间内连续。

基本求导公式

$$(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1},\ (e^x)'=e^x,\ (a^x)'=a^x\ln a,\ (\ln x)'=\frac1x,\ (\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x$$ $$(\tan x)'=\sec^2x,\ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2},\ (\ln|x|)'=\frac1x$$

核心法则

• 复合函数：$(f\circ g)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$（链式法则）。
• 隐函数：$F(x,y)=0$，两边对 $x$ 求导，视 $y=y(x)$，解得 $y'$。
• 参数方程：$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$。
• 反函数：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{dx/dy}$。
• 对数求导法：幂指函数 $y=u^v$，取 $\ln y=v\ln u$ 再求导。
• 莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)}$。

四大定理

• 罗尔：$f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$ ⇒ $\exists\xi$ 使 $f'(\xi)=0$。
• 拉格朗日：$f$ 连续、可导 ⇒ $\exists\xi$ 使 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
• 柯西：$f,g$ 连续可导且 $g'\ne0$ ⇒ $\exists\xi$ 使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。
• 泰勒公式：$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^n$。

法则内容

$$x\to a\text{ 时 }\frac{f(x)}{g(x)}\text{ 为 }\frac{0}{0}\text{ 或 }\frac{\infty}{\infty},\ \text{且 }\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\text{ 存在}\Rightarrow \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

求极值 / 最值流程

1. 求 $f'(x)$，解 $f'(x)=0$ 得驻点，找出不可导点。
2. 列表考察各点两侧导数符号（或二阶导符号）。
3. 最值：比较端点、驻点、不可导点处的函数值。

基本积分表（必背）

$$\int x^{\alpha}dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,\ \int\frac1x dx=\ln|x|+C,\ \int e^x dx=e^x+C,\ \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ $$\int\sin x\,dx=-\cos x+C,\ \int\cos x\,dx=\sin x+C,\ \int\sec^2x\,dx=\tan x+C$$ $$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C,\ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C,\ \int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$

常用凑微分

$$dx=\frac1a d(ax+b),\quad \frac1x dx=d\ln x,\quad \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=d\arcsin x,\quad \frac1{1+x^2}dx=d\arctan x$$

三角换元表（含 $\sqrt{a^2\pm x^2}$）

公式

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

选 $u$ 顺序：反 · 对 · 幂 · 指 · 三

优先把 反三角函数、对数 当作 $u$（其导数简单），把 幂函数、指数、三角 放进 $dv$（容易积分）。

牛顿–莱布尼茨 & 变上限积分求导

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\quad F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\ \Rightarrow\ F'(x)=f(x)$$ $$\Big(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,dt\Big)'=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)$$

常见收敛结论

比较判别法、极限形式的比较判别法判断收敛性。

核心公式

• 面积（$x$ 型）：$S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$。
• 旋转体体积（绕 $x$ 轴）：$V=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx$；绕 $y$ 轴（壳法）：$V=2\pi\int_a^b x f(x)\,dx$。
• 弧长：$L=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\,dx$；参数方程 $L=\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$。
• 平均值：$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$。
• 旋转体侧面积：$S=2\pi\int_a^b |f(x)|\sqrt{1+f'^2}\,dx$。

三种运算

• 数量积：$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$；$\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$。
• 向量积：$|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta$，方向由右手定则；$\vec a\parallel\vec b\iff\vec a\times\vec b=\vec 0$。
• 混合积：$(\vec a,\vec b,\vec c)=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$，绝对值等于三向量张成的平行六面体体积。

方程形式

• 点法式：过点 $(x_0,y_0,z_0)$、法向量 $\vec n=(A,B,C)$：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$。
• 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$，法向量 $(A,B,C)$。
• 截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$。
• 点到平面距离：$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。

方程形式

• 点向式：过点 $(x_0,y_0,z_0)$、方向向量 $\vec s=(m,n,p)$：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$。
• 参数式：$\begin{cases}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{cases}$。
• 一般式：两平面交线 $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$。
• 两直线夹角：方向向量夹角的余弦。

常见曲面

• 旋转曲面：$yoz$ 平面曲线 $f(y,z)=0$ 绕 $z$ 轴旋转得 $f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$。
• 椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$。
• 抛物面：$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（椭圆抛物面）。
• 双曲抛物面（马鞍面）：$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$。
• 锥面：$z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$。

关系链

$$f_x',f_y'\text{ 连续}\ \Rightarrow\ f\text{ 可微}\ \Rightarrow\ f\text{ 连续、偏导存在}$$

注意：偏导存在但不一定连续，也不一定可微（如 $f=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 补充 $f(0,0)=0$）。

链式法则

设 $z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，则

$$\frac{\partial z}{\partial x}=f_u'\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+f_v'\cdot\frac{\partial v}{\partial x},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=f_u'\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+f_v'\cdot\frac{\partial v}{\partial y}$$

路径图：$z\to(u,v)\to(x,y)$，沿每条路径相乘、路径间相加。

核心公式

• 方向导数（$f$ 可微，方向 $\vec l$ 的单位向量 $(\cos\alpha,\cos\beta)$）：$\frac{\partial f}{\partial l}=f_x'\cos\alpha+f_y'\cos\beta$。
• 梯度：$\text{grad}f=\nabla f=(f_x',f_y')$。
• 方向导数 $=\nabla f\cdot\vec e_l=|\nabla f|\cos\theta$，$\theta$ 为梯度与方向夹角。沿梯度方向方向导数最大，等于 $|\nabla f|$。

条件极值（拉格朗日乘数法）

求 $f(x,y)$ 在约束 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值：设

$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$$

解 $\begin{cases}L_x'=0\\L_y'=0\\L_\lambda'=0\end{cases}$ 得候选点，再结合实际问题判定。

计算方法

• 直角坐标（X 型）：$\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy$。
• 直角坐标（Y 型）：$\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,dx$。
• 极坐标：$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$，$dxdy=r\,dr\,d\theta$，$\iint_D f=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr$。

三种坐标系

• 直角坐标（先二后一）：$\iiint_V f=\int_a^b dz\iint_{D_z}f\,dxdy$。
• 柱坐标：$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=z$，$dV=r\,drd\theta dz$。
• 球坐标：$\begin{cases}x=\rho\sin\phi\cos\theta\\y=\rho\sin\phi\sin\theta\\z=\rho\cos\phi\end{cases}$，$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho d\phi d\theta$。

计算公式

• 第一类（弧长）：$\int_L f(x,y)\,ds=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$。
• 第二类（坐标）：$\int_L P\,dx+Q\,dy=\int_a^b \big[P x'+Q y'\big]dt$。
• 格林公式（平面闭曲线）：$\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\big)dxdy$（$L$ 正向、$D$ 由 $L$ 围成）。

核心公式

• 第一类：$\iint_\Sigma f\,dS=\iint_D f(x,y,z)\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}\,dxdy$。
• 第二类：$\iint_\Sigma P dydz+Q dzdx+R dxdy$，投影到 $xOy$：$=\pm\iint_D R\,dxdy+\cdots$（符号按方向）。
• 高斯公式：$\oiint_\Sigma P dydz+Q dzdx+R dxdy=\iiint_V\big(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\big)dV$（$\Sigma$ 外侧、$V$ 由 $\Sigma$ 围成）。
• 斯托克斯公式：空间闭曲线 → 曲面积分（旋度）。

重要结论

• $p$-级数 $\sum\frac1{n^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散。
• $\sum\frac1{n\ln n}$ 发散（用积分判别法）。
• $\sum(-1)^n\frac1n$ 条件收敛；$\sum(-1)^n\frac1{n^2}$ 绝对收敛。

收敛半径

• $\lim\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|=\rho$，则收敛半径 $R=\frac1\rho$（$\rho=0$ 时 $R=+\infty$，$\rho=+\infty$ 时 $R=0$）。
• 收敛区间 $(-R,R)$ 内绝对收敛，端点需单独代入判断。

常用展开式

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\ (|x|<1),\quad e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\ (|x|<1)$$

傅里叶系数（周期 $2\pi$）

$$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$$

$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$。

常见类型与解法

• 可分离变量：$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$，分离后两边积分。
• 齐次方程：$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$，令 $u=\frac{y}{x}$。
• 一阶线性：$y'+P(x)y=Q(x)$，通解 $y=e^{-\int P\,dx}\big[\int Q e^{\int P\,dx}dx+C\big]$。
• 伯努利：$y'+P(x)y=Q(x)y^n$，令 $u=y^{1-n}$ 化线性。

齐次：$y''+py'+qy=0$

特征方程 $r^2+pr+q=0$：

• 两不同实根 $r_1\ne r_2$：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$。
• 重根 $r_1=r_2$：$y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$。
• 共轭复根 $\alpha\pm\beta i$：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。

非齐次：$y''+py'+qy=f(x)$

通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解。特解用待定系数法（$f(x)$ 为多项式/指数/三角的乘积时）或常数变易法。

方法

• 缺 $y$：$y''=f(x,y')$，令 $p=y'$ 降为一阶。
• 缺 $x$：$y''=f(y,y')$，令 $p=y'$，$y''=p\frac{dp}{dy}$。
• 欧拉方程：$x^2y''+pxy'+qy=f(x)$，令 $x=e^t$（或 $t=\ln x$）化为常系数。

常用结论

• 上（下）三角行列式 $=$ 主对角线元素之积。
• $\begin{vmatrix}0&A\\B&0\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|$（分块）。
• $\begin{vmatrix}A&*\\0&B\end{vmatrix}=|A||B|$。

展开定理

$|A|=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$，其中余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$（$M_{ij}$ 为代数余子式）。

方法

• 化三角形：初等行变换化上三角，主对角相乘（注意交换行变号）。
• 按行展开：把某行化成只留一个非零元素再展开。
• 递推 / 归纳：三对角、范德蒙德等特殊行列式。

范德蒙德行列式

$$\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)=\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}$$

运算法则

• 乘法：$(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$。一般 $AB\ne BA$。
• 转置：$(AB)^T=B^TA^T$；$(kA)^T=kA^T$；$(A^T)^T=A$。
• 幂：$A^{m}A^{n}=A^{m+n}$，$(A^m)^n=A^{mn}$；$(AB)^k\ne A^kB^k$（不交换时）。
• 对称矩阵：$A^T=A$；反对称 $A^T=-A$。

核心公式

• $A$ 可逆 $\iff |A|\ne0$ $\iff$ $r(A)=n$ $\iff$ $A$ 与 $E$ 等价。
• $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$（$A^*$ 为伴随矩阵）。
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$；$(kA)^{-1}=\frac1k A^{-1}$；$|A^{-1}|=\frac1{|A|}$。
• 初等变换法：$[A\mid E]\xrightarrow{\text{行变换}}[E\mid A^{-1}]$。

求秩方法

1. 初等行变换化为行阶梯形。
2. 数非零行的个数即得 $r(A)$。

分块对角与反对角

• $\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}$（$A,B$ 可逆）。
• $\begin{vmatrix}A&0\\0&B\end{vmatrix}=|A||B|$；$\begin{vmatrix}0&A\\B&0\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|$。
• 分块三角 $\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\0&B^{-1}\end{pmatrix}$。

判定方法

• 用向量组作列构成矩阵 $A$，线性无关 $\iff r(A)=s$（向量个数）。
• $n$ 个 $n$ 维向量线性无关 $\iff |A|\ne0$。
• 向量个数 $>$ 维数则必线性相关。

求极大无关组方法

1. 向量作列构成矩阵。
2. 初等行变换化行阶梯形。
3. 主元列对应原向量构成极大线性无关组。

求基础解系流程

1. 初等行变换化行最简形。
2. 确定主元变量与自由变量（自由变量个数 $=n-r(A)$）。
3. 自由变量分别取 $(1,0,\dots),(0,1,\dots)$ 反代求解，得基础解系。

解的存在性（增广矩阵 $\tilde A=[A\mid b]$）

• 无解 $\iff r(A)\ne r(\tilde A)$。
• 有唯一解 $\iff r(A)=r(\tilde A)=n$。
• 有无穷多解 $\iff r(A)=r(\tilde A)<n$。

定义与求法

• $A\alpha=\lambda\alpha$（$\alpha\ne0$）则 $\lambda$ 为特征值，$\alpha$ 为特征向量。
• 特征方程：$|\lambda E-A|=0$，解出特征值。
• 每个特征值 $\lambda_i$ 的特征向量：解齐次方程组 $(\lambda_i E-A)x=0$ 的基础解系。

重要性质

• $\sum\lambda_i=\text{tr}(A)$（迹），$\prod\lambda_i=|A|$。
• 不同特征值对应的特征向量线性无关。
• $A$ 可逆 $\iff$ 特征值全不为 0；$A$ 的特征值为 $\lambda$ 时，$A^{-1}$ 的特征值为 $\frac1\lambda$，$A^k$ 的特征值为 $\lambda^k$。

实对称矩阵（重要）

• 实对称矩阵必可正交对角化：存在正交阵 $Q$ 使 $Q^TAQ=\Lambda$。
• 不同特征值对应特征向量必正交。
• 正交对角化步骤：求特征值 → 特征向量 → 施密特正交化 + 单位化 → 组成 $Q$。

正定判定（等价条件）

• 对任意 $x\ne0$ 有 $x^TAx>0$。
• $A$ 的所有特征值均为正。
• $A$ 的顺序主子式全为正（霍尔维茨判据）。
• $A$ 合同于单位阵 $E$；$A=D^TD$（$D$ 可逆）。

核心公式

• 条件概率：$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$（$P(A)>0$）。
• 乘法公式：$P(AB)=P(A)P(B\mid A)=P(B)P(A\mid B)$。
• 全概率：若 $\bigcup A_i=\Omega$ 且两两互斥，$P(B)=\sum_i P(A_i)P(B\mid A_i)$。
• 贝叶斯：$P(A_k\mid B)=\frac{P(A_k)P(B\mid A_k)}{\sum_i P(A_i)P(B\mid A_i)}$。

独立 vs 互斥

分布律与数字特征

密度函数与数字特征

方法

• 分布函数法（通用）：$F_Y(y)=P(g(X)\le y)$，化为 $X$ 的概率。
• 公式法（$g$ 严格单调可导）：$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\big|(g^{-1})'(y)\big|$。
• 线性变换：$Y=aX+b$，$f_Y(y)=\frac1{|a|}f_X(\frac{y-b}{a})$。

边缘密度

由联合密度 $f(x,y)$ 求边缘：

$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy,\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx$$

边缘分布律：$P(X=x_i)=\sum_j P(X=x_i,Y=y_j)$。

条件密度

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\ (f_Y(y)\ne0)$$

核心情形

• $Z=X+Y$：$f_Z(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$（$X,Y$ 独立时的卷积）。
• 可加性：独立正态之和仍正态，$N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$；独立泊松之和仍泊松。
• 最大最小：$F_{\max}(z)=F_X(z)F_Y(z)$；$F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$。

定义与性质

• 离散：$E(X)=\sum x_k p_k$；连续：$E(X)=\int x f(x)\,dx$。
• $E(g(X))=\int g(x)f(x)\,dx$；$E(g(X,Y))=\iint g(x,y)f(x,y)\,dxdy$。
• 线性：$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$（无需独立）。
• $E(C)=C$；独立时 $E(XY)=E(X)E(Y)$。

定义与性质

• $D(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2$（重要计算式）。
• $D(aX+b)=a^2D(X)$（$b$ 不影响方差）。
• $X,Y$ 独立时 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$。
• 标准差 $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$。

核心公式

• 协方差：$\text{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)$。
• $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\text{Cov}(X,Y)$。
• 相关系数：$\rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，$|\rho|\le1$。
• $\rho=1$ 时 $X,Y$ 正线性相关，$\rho=-1$ 负线性相关。

切比雪夫不等式

$$P\big(|X-E(X)|\ge\varepsilon\big)\le\frac{D(X)}{\varepsilon^2}\quad\Rightarrow\quad P(|X-E(X)|<\varepsilon)\ge 1-\frac{D(X)}{\varepsilon^2}$$

大数定律

• 切比雪夫大数定律：独立同分布且 $D(X)<\infty$ 时，$\bar X_n$ 依概率收敛于 $E(X)$。
• 伯努利大数定律：$n$ 重伯努利试验频率 $\frac{n_A}{n}\xrightarrow{P}p$。

列维–林德伯格定理

$X_1,\dots,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，则

$$\frac{\sum X_i-n\mu}{\sqrt{n}\,\sigma}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1)$$

近似：$\sum_{i=1}^n X_i\sim N(n\mu,n\sigma^2)$（$n$ 充分大）。

常用统计量

• 样本均值：$\bar X=\frac1n\sum X_i$，$E(\bar X)=\mu$，$D(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}$。
• 样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$，$E(S^2)=\sigma^2$（无偏）。
• 样本标准差 $S$；样本矩。

定义

• $\chi^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2$（$X_i\sim N(0,1)$ 独立）服从 $\chi^2(n)$，$E=n$，$D=2n$。
• $t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$（$X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(n)$，独立）服从 $t(n)$。
• $F=\frac{X/m}{Y/n}$（$X\sim\chi^2(m)$，$Y\sim\chi^2(n)$，独立）服从 $F(m,n)$。

正态总体抽样定理（$X\sim N(\mu,\sigma^2)$）

• $\bar X\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
• $\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$。
• $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，且 $\bar X$ 与 $S^2$ 独立。

正态总体 $\mu$ 的置信区间（$1-\alpha$）

• $\sigma^2$ 已知：$\bar X\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
• $\sigma^2$ 未知：$\bar X\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}$。